Beregning av aktivitet til et nettverk av reaksjoner

Abstract

Kvantemekaniske systemer beskrives gjerne ved et sett av egentilstander (ofte merket ved deres energier eller frekvenser) og overganger eller henfall mellom disse (karakterisert ved deres overgangsrater). Eksempler på slike systemer kan være atomer, molekyler eller atomkjerner. Overgangsratene kan stort sett beregnes i tidsavhengig perturbasjonsteori ved Fermis gyldne regel. Men selv om man kjenner alle overgangsrater mellom alle kvantetilstander (ved måling eller ved beregning), så krever en nøyaktig modellering av tidsutviklingen til systemet at man tar hensyn til alle forgreininger og sammenføringer i nettverket av mulige henfall fra utgangstilstand til sluttilstand. Vi modellerer dette nettverket av overganger som et system av sammenkoblete autonome lineære førsteordens differensiallikninger. Dets løsning er formulert i lukket form ved hjelp av matrisefunksjoner. Vi formulerer eksakte og tilnærmete løsninger til slike matrisefunksjoner og implementerer noen numeriske algoritmer der den mest effektive baserer seg på Padé approksimasjonen. Matrisefunksjoner kan anvendes overalt der man er konfrontert med lignende differensiallikningssystemer, som for eksempel ved vibrasjonsanalyse. Eksemplene vi bruker i denne rapporten stammer fra kjernefysikken der overgangene mellom kvantetilstandene tilsvarer forskjellige typer radioaktivitet og der vi fokuserer nettopp på beregningen av denne aktiviteten. I denne konteksten diskuterer vi også betingelsen for å kunne generalisere vår matematisk modell fra et nettverk med henfall (unære reaksjoner) til et nettverk med binære reaksjoner. Lignende eksempler kunne også formuleres for overganger mellom elektroniske tilstander i atomer eller molekyler der radiative overganger tilsvarer utsendelse av lys eller generelt elektromagnetisk stråling med forskjellige bølgelengder. Slike eksempler kunne inkludere atomer og molekyler som er involvert i produksjon av laserstråling, men også konkurrerende prosesser.

Quantum-mechanical systems may be described in terms of eigenstates (usually labeled by their energies or frequencies) and transitions or decays between them (characterized by their transition rates). Examples of such systems may be atoms, molecules or atomic nuclei. Transition rates may in general be calculated within time-dependent perturbation theory by Fermi’s golden rule. However, even if one obtains complete knowledge of all transition rates between all quantum states (by measurement or calculation), a precise modeling of the time evolution of the system requires that one takes into account all branchings and all funnelings within the network of possible decays from the initial to the final state. We model this network of transitions as a system of coupled, autonomous and linear differential equations of first order. The solution of which is formulated in closed form by means of functions of matrices. We formulate exact and approximate solutions of such functions of matrices and implement some numerical algorithms, the most effective of which is based on the Padé approximation. Functions of matrices may be employed in all cases where one is confronted by similar systems of differential equations, such as, for instance, vibration analysis. The examples we use in this report are all derived from nuclear physics, where transitions between quantum states correspond to different types of radioactivity and where we focus precisely on the calculation of this activity. In this context we also discuss the conditions under which our mathematical model may be generalized from a network of decays (unary reactions) to a network of binary reactions. Similar examples could also be formulated for transitions between electronic states of atoms or molecules, where radiative transitions correspond to emission of light or generally electromagnetic radiation with different wavelengths. Such examples could include atoms and molecules which are involved in the generation of laser beams, but also in competing processes.